Grenzen beachten!

Neulich fand ich hier, im er­lauch­ten Kreis der Word­Presser, einen inter­essanten Artikel, in dem ein youtube-Video gezeigt wird. Dieses Video (zu finden unter der Kennung opeW_1aG2sU) ist gleich doppelt inter­essant, weil in der Spanne zwischen der 8. und der 12. Sekunde auf eine schlicht­weg ungültige Gleichung verwiesen wird:

Die linke Seite in dieser Nicht­gleichung ist eine alte Bekannte. Sie läßt sich im hier vorlie­genden Blog in dem Artikel wieder­finden, der am 24.10.2019 publi­ziert wurde, speziell auf Seite 7 der dort ver­link­ten PDF-Datei.
Kurz nach der Stelle 1‘38“ im oben genannten youtube-Video wird sogar die Ursache deutlich – auch wenn sie vom Video­macher still­schwei­gend über­gangen wird –, die zu schwer­wiegenden Fehlern bei der Arbeit mit unend­lichen Reihen führen kann. Der Video­macher setzt eine Gleichung als bekannt voraus, mit der er dann seine Aufgabe (bis 5‘10“ im oben genannten Video) anson­sten recht elegant löst, nämlich:

Ohne die Angabe des Gültig­keits­bereiches (hier: -1 < x < +1) sind schlimm­sten Irr­tümern Tür und Tor geöffnet. Als Beispiel hier mal der „Beweis” für den Wert für die ganz oben genannte Summe. Dafür werden als Zwischen­ergeb­nisse zwei spezielle Reihen S1 und S2 benötigt:

Ab hier ist die „Her­lei­tung” bereits falsch, weil für die S1-Berechnung x = -1 gesetzt werden muß, womit der Gültig­keits­bereich der Glei­chung ver­las­sen wird und folglich S1 ≠ ½ ist (exakt wäre: S1 konver­giert nicht, hat also keinen Wert). Aber weiter im ver­meint­lichen Beweis. Die Berech­nung von S2 wird auf S1 zurück­geführt:

Und schon ist – wenn auch fälsch­licher­weise, da auch S2 nicht konver­giert – der Wert S2 = ¼ ermittelt. Der letzte Schritt des vermeint­lichen Beweises sieht so aus:

Aus der vermeint­lichen Iden­tität S - S2 = 4·S läßt sich sehr leicht S = -1/12 ermitteln, was eine – man kann’s gar nicht oft genug wieder­holen – falsche Aussage ist. Die S-Reihe kon­ver­giert nicht, was ohne großen Aufwand nach­gewiesen werden kann:

——————————
PS: Nach dem gleichen Schema, nämlich der Nicht­beachtung von Gültig­keits­grenzen, läßt sich wahl­weise auch „beweisen”, daß S = -1/8 oder daß S = 0 ist. Wenn mich mal die Lange­weile plagen sollte, werde ich hier die dafür erforder­lichen Irrwege illu­strieren… 😁

10 Kommentare zu „Grenzen beachten!

        1. Der Roman heißt „Das Ableben” (dürfte so um 1986 erschienen sein, meine Ausgabe stammt aus dem Jahr 1989; Originaltitel кончина). Ich könnte mir vorstellen, daß ich noch mehr von ihm „inhalieren” werde… 😉

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        2. … mittlerweile habe ich die Geschichte ausgelesen. Ein echtes Aha-Erlebnis! Ich habe das ungute Gefühl, daß ich den Roman, hätte ich ihn vor 30 Jahren gelesen, nicht gemocht hätte. In der Zwischenzeit bin ich älter reifer und kann die Tiefe des Romans (vermutlich!?) ganz gut erspüren und vor allem genießen. 🙂

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