Grenzen beachten!

Neulich fand ich hier, im er­lauch­ten Kreis der Word­Presser, einen inter­essanten Artikel, in dem ein youtube-Video gezeigt wird. Dieses Video (zu finden unter der Kennung opeW_1aG2sU) ist gleich doppelt inter­essant, weil in der Spanne zwischen der 8. und der 12. Sekunde auf eine schlicht­weg ungültige Gleichung verwiesen wird:

Die linke Seite in dieser Nicht­gleichung ist eine alte Bekannte. Sie läßt sich im hier vorlie­genden Blog in dem Artikel wieder­finden, der am 24.10.2019 publi­ziert wurde, speziell auf Seite 7 der dort ver­link­ten PDF-Datei.
Kurz nach der Stelle 1‘38“ im oben genannten youtube-Video wird sogar die Ursache deutlich – auch wenn sie vom Video­macher still­schwei­gend über­gangen wird –, die zu schwer­wiegenden Fehlern bei der Arbeit mit unend­lichen Reihen führen kann. Der Video­macher setzt eine Gleichung als bekannt voraus, mit der er dann seine Aufgabe (bis 5‘10“ im oben genannten Video) anson­sten recht elegant löst, nämlich:

Ohne die Angabe des Gültig­keits­bereiches (hier: -1 < x < +1) sind schlimm­sten Irr­tümern Tür und Tor geöffnet. Als Beispiel hier mal der „Beweis” für den Wert für die ganz oben genannte Summe. Dafür werden als Zwischen­ergeb­nisse zwei spezielle Reihen S₁ und S₂ benötigt:

Ab hier ist die „Her­lei­tung” bereits falsch, weil für die S₁-Berechnung x = -1 gesetzt werden muß, womit der Gültig­keits­bereich der Glei­chung ver­las­sen wird und folglich S₁ ≠ ½ ist (exakt wäre: S₁ konver­giert nicht, hat also keinen Wert). Aber weiter im ver­meint­lichen Beweis. Die Berech­nung von S₂ wird auf S₁ zurück­geführt:

Und schon ist – wenn auch fälsch­licher­weise, da auch S₂ nicht konver­giert – der Wert S₂ = ¼ ermittelt. Der letzte Schritt des vermeint­lichen Beweises sieht so aus:

Aus der vermeint­lichen Iden­tität S - S₂ = 4·S läßt sich sehr leicht S = -1/12 ermitteln, was eine – man kann’s gar nicht oft genug wieder­holen – falsche Aussage ist. Die S-Reihe kon­ver­giert nicht, was ohne großen Aufwand nach­gewiesen werden kann:

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PS: Nach dem gleichen Schema, nämlich der Nicht­beachtung von Gültig­keits­grenzen, läßt sich wahl­weise auch „beweisen”, daß S = -1/8 oder daß S = 0 ist. Wenn mich mal die Lange­weile plagen sollte, werde ich hier die dafür erforder­lichen Irrwege illu­strieren… 😁